2.1 初等数学#

初等数学是游戏开发的基础，贯穿所有开发环节，无需复杂推导，但需熟练应用，核心内容包括：

• 数值运算：实数、整数、浮点数的加减乘除、取模、取整（向上取整、向下取整、四舍五入），重点注意浮点数精度问题（如Unity中float与double的使用差异，避免精度丢失导致的逻辑bug）。

• 幂运算与对数运算：幂运算用于角色属性计算（如等级提升后的伤害倍率）、缩放比例计算；对数运算用于资源衰减、难度梯度设计（如经验值需求随等级增长的曲线）。

• 三角函数与反三角函数：核心用于角度计算、角色旋转、物体运动轨迹（如抛物线运动、圆周运动），重点掌握sin（正弦）、cos（余弦）、tan（正切）的含义及应用，以及角度与弧度的互换（引擎中多使用弧度计算，需注意转换逻辑）。

• 常用恒等式与近似计算：用于简化运算、提升性能，如三角函数恒等式、近似公式，避免复杂计算占用过多资源。

2.2 坐标系基础#

坐标系是游戏中所有物体位置、运动的核心载体，不同场景需使用对应坐标系，核心内容包括：

• 2D坐标系：笛卡尔坐标系（x轴水平、y轴垂直），用于2D游戏角色位置、UI布局、2D物理碰撞检测（如矩形、圆形碰撞的位置计算）。

• 3D坐标系：分为左手系（Unity默认）和右手系（Unreal默认），核心区别在于z轴方向（左手系z轴向外，右手系z轴向内），需明确引擎坐标系规则，避免位置计算错误。

• 坐标空间转换：掌握屏幕坐标、世界坐标、局部坐标、裁剪坐标的定义及转换逻辑，如将鼠标屏幕坐标转换为世界坐标（用于点击检测）、将角色局部坐标转换为世界坐标（用于场景交互）。

3.1 向量（Vector）#

向量用于描述物体的位置、方向、速度、力等物理量，是游戏开发中最常用的数学工具，核心内容包括：

• 向量定义：2D向量（x,y）、3D向量（x,y,z）、4D向量（x,y,z,w，用于齐次坐标转换），本质是“有大小、有方向的量”。

• 向量运算：加减运算（用于位置偏移、方向合成，如角色移动方向=目标方向-当前位置）、数乘运算（用于缩放向量，如速度翻倍、力的大小调整）。

• 点积（Dot Product）：核心用途包括计算两个向量的夹角（如判断角色是否面向目标）、向量投影（如将移动方向投影到地面，避免空中漂移）、判断两个向量的前后关系（如敌人是否在玩家正前方）。

• 叉积（Cross Product）：仅适用于3D向量，核心用途包括计算法向量（用于面的朝向、光照计算）、判断两个向量的左右关系（如角色转弯方向判断）、确定旋转轴（如物体绕某一轴旋转）。

• 向量归一化与长度计算：归一化（将向量长度转为1，保留方向，用于方向向量计算）、长度计算（用于计算两个物体的距离，如检测角色与敌人的距离是否在攻击范围内）。

• 向量插值：LERP（线性插值，用于平滑移动、渐变效果，如角色位置平滑过渡）、NLERP（归一化线性插值，用于方向向量的平滑过渡，避免方向突变）。

3.2 矩阵（Matrix）#

矩阵用于描述物体的变换（平移、旋转、缩放），是引擎中处理物体姿态的核心工具，核心内容包括：

• 矩阵基础：矩阵的加减、乘法运算（注意矩阵乘法不满足交换律），单位矩阵（对角线为1，其余为0，用于初始变换）、逆矩阵（用于反向变换，如将世界坐标转换为局部坐标）、转置矩阵（用于简化运算）。

• 核心变换矩阵：

  • 平移矩阵：用于物体的位置移动，通过矩阵乘法将物体坐标偏移指定距离，是角色移动、场景切换的核心。

  • 缩放矩阵：用于物体的大小调整，如角色放大、道具缩小，可实现均匀缩放（x、y、z轴缩放比例一致）和非均匀缩放（各轴比例不同）。

  • 旋转矩阵：用于物体绕轴旋转，包括绕X轴（俯仰）、Y轴（偏航）、Z轴（翻滚）的旋转矩阵，以及基于欧拉角的组合旋转矩阵。

• 组合变换顺序：物体变换需遵循“缩放→旋转→平移”的顺序（不可颠倒），否则会导致变换错误（如先平移再旋转，会出现位置偏移），通过组合变换矩阵可实现复杂的物体姿态调整。

• 特殊矩阵：观察矩阵（用于定义相机视角，将世界坐标转换为相机视角坐标）、投影矩阵（分为透视投影和正交投影，透视投影用于3D游戏，模拟人眼视角；正交投影用于2D游戏、UI界面，无透视效果）。

3.3 四元数（Quaternion）#

四元数主要用于解决3D旋转中的“万向锁”问题（欧拉角旋转时，当两个轴旋转角度为90度时，会丢失一个旋转自由度），核心应用于3D角色、相机的旋转，内容包括：

• 四元数基础：由一个实部和三个虚部组成，无需深入理解数学推导，重点掌握其应用场景。

• 四元数运算：乘法（用于组合旋转，如角色先绕Y轴转，再绕X轴转）、求逆（用于反向旋转，如撤销旋转操作）、归一化（确保旋转角度正确，避免偏差）。

• 球面插值（Slerp）：用于四元数的平滑旋转，如相机跟随角色时的平滑转向、角色转身的渐变效果，比线性插值更自然，避免旋转卡顿。

• 格式互转：掌握四元数与旋转矩阵、欧拉角的互转，如将欧拉角（角色旋转角度）转换为四元数进行旋转，再将四元数转换为矩阵用于引擎渲染。

4.1 基础几何元素#

• 点、线、射线、线段：点用于描述物体位置；线和线段用于场景边界、角色移动路径；射线用于碰撞检测（如射线检测鼠标点击的物体、子弹射击检测）。

• 平面、多边形：平面用于场景地面、墙面的构建，核心计算平面方程（用于判断点是否在平面上、物体与平面的碰撞）；多边形（如三角形、矩形）用于2D精灵、3D模型的碰撞体（如Unity中的Mesh Collider）。

• 常见几何体：圆形、椭圆（2D），球体、立方体、圆柱体、胶囊体（3D），用于碰撞体设计（如角色用胶囊体碰撞体，地面用立方体碰撞体），需掌握几何体的边界计算、距离计算。

4.2 碰撞检测相关数学#

碰撞检测是游戏交互的核心（如角色与障碍物碰撞、子弹击中敌人），核心数学逻辑包括：

• 2D碰撞检测：点与点、点与线段、线段与线段、点与圆形、圆形与圆形、矩形与矩形的碰撞判断，如判断鼠标点击是否命中2D精灵、两个2D角色是否碰撞。

• 3D碰撞检测：点与平面、射线与平面、射线与球体、球体与球体、立方体与立方体的碰撞判断，如子弹射线与敌人碰撞、角色与场景障碍物碰撞。

• 碰撞响应：碰撞后的位置修正、速度变化（如角色撞到墙壁后停止移动、子弹击中敌人后反弹），需结合向量、力的计算。